Matematiikkaa triviaaleille olennoille (kuten minulle)

On se hyvä, että jotkut osaavat matematiikkaa ja heiltä voi maallikko kysyä mieltä askarruttavia asioita – kuten että ”Kun on kerta todistettu, että omega-luvuissa (Chaitin 1975) on jossain kohtaa kaikki mahdolliset lukuyhdistelmät (Delahaye 2007) – esimerkiksi triljoonakolme nollaa peräkanaa – niin eikö siellä ole sitten myös ääretön ketju nollia? Eihän ole olemassa mitään lyhyintä sarjaa nollia, mitä luvussa ei olisi?”.

Matemaatikot vastasivat, että ”mielivaltaisen monta” ei ole sama asia kuin ”äärettömästi”. Yhden vastaajan esimerkkiluku jotenkin ovelasti valaisi tämän kirjoittajalle (triviaalille olennolle*) tätä eroa: 0,101001000100001000001000000100000001000000001000000000100000000001000000000001 …
-tässä luvussa nollaketjut venyvät mielivaltaisen pitkiksi, mutta eivät äärettömiksi, koska ykkönen keskeyttää ketjun sitten aina. Vaikka etsimistä jatkaisi äärettömän pitkän ajan? Niin kai sitten. Okei, eihän mielivaltaisen isoja ja äärettömiä kannata tietenkään arkijärjellä yrittää ymmärtää…

Jos minulta kysyttäisiin, niin kaikki äärettömät pitäisi kieltää:-) Fysiikasta varsinkin, koska mikään ääretön asia ei mahdu mihinkään fysikaaliseen todellisuuteen, josta jotain voi tietää. Matematiikassa äärettömiä tietenkin pyöritellään rutiinilla, toiset äärettömät ovat vieläpä mahtavampia kuin toiset niin kuin Georg Cantor nerokkaan yksinkertaisesti todisti.

Kaikenlaiset äärettömien aiheuttamat paradoksit – kuten se, että parittomia lukuja on yhtä paljon kuin parittomia ja parillisia yhteensä; tai Hilbertin hotelli, jossa aina on tilaa äärettömälle määrälle uusia vieraita, kun vaan huonejärjestystä muutetaan – saataisiin poistumaan, kun sovittaisiin, että ääretöntä ei ole olemassa ja sen sijaan lyötäisiin maksimi johonkin lukuun.

Maksimi voisi olla aina kulloinenkin suurin luku, jonka joku pystyy määrittelemään ja paperille kirjoittamaan ja vaihtua aina, jos joku keksii vielä isomman. Tällaista ”kuka osaa laskea pisimmälle?” –kysymyksen pro-versiota on pohdittu Scott Aaronsonin blogissa (ja päädytty ”kiireisiin majaviin”).

On helppo keksiä kirjoittaa ylös niin isoja lukuja, että niille ei keksi enää mitään käyttöä saati, että niiden suuruutta pystyisi ihminen mitenkään mieltämään. Luvun järjetön suuruus ei kuitenkaan tässä haittaa: oli maksimiksi sovittu kuinka iso luku vaan, se ei ole koskaan yhtään lähempänä ääretöntä kuin on esimerkiksi luku kolme (nolla prosenttia äärettömästä on kasassa aina, keksi joku maksimiluvuksi kuinka iso luvun tahansa).

  • ”Triviaali olento” on Paul Erdösin termi ei-matemaatikoille. (Matemaatiikan tekemisen lopettaneet matemaatikot ovat ”kuolleita” ja lapset ovat ”epsiloneja”).

Viitteet:

Chaitin, G. J. 1975: A theory of program size formally identical to information theory. J. Assoc. Comput. Mach. 329-340. Alkuperäinen julkaisu omega-luvuista.

Delahaye, J.-P. 2007: Omega numbers. Teoksessa: Calude, C. S. (toim.): Randomness and complexity from Leibniz to Chaitin, s. 343-357.

Koko edellä mainittu teos pdf-muodossa – älyttömän jännä kirja. Sopii myös meille triviaaleille olennoille paremmin kuin oikeat matemaattiset julkaisut.

Mainokset